Математика барлық тұжырымдар ақыл қорытындысы арқылы, яғни адамның ойлау қабілеті заңының жолдарын қолданып,  дәлелденетін ғылым болып табылады. Адамның ойлау қабілетінің заңын оқу логика пәні болып табылады.

Логика өз алдына ғылым болып грек философы Аристотельдің  (384-322 ж.ж б.э.д) еңбегінде нақтыланған. Ол өзіне дейінгі мәліметтерді жүйеледі және осы жүйе кейін формальды немесе Аристотель логикасы деп аталды.

Формальды логика еш өзгеріссіз 20 ғасырдай өмір сүрді. Математиканың дамуы Аристотель логикасының жетіспеушіліктерін көрсетті және оның әрі қарай дамуын талап етті.

Математикалық негізде логиканы құру идеясын тарихта алғашқы болып неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) XVI ғ. аяғында айтты. Ол логиканың негізгі ұғымдарын арнайы шарттармен байланысқан символдармен белгіленуі тиіс дейді. Бұл кез-келген ойларды есепке ауыстыруға мүмкіндік береді.

Алғашқы болып Лейбництің айтуын жүзеге асырған ағылшын ғалымы

Д. Буль (1815-1864). Ол айтылымдар әріптермен белгіленген алгебраны құрды және бұл айтылымдар алгебрасын дүниеге әкелді. Логикаға симвлодық белгілеуді ендіру, бұл ғылымға маңызды болды. Дәл осы символдарды логикаға ендіру жаңа математикалық логика ғылымының негізін қалады.

Логикада математиканы қолдану логикалық теорияларды жаңа формада кқруге мүмкіндік берді және есептеуіш аппараттарды адамның ойлау қабілеті жетпейтін есептерді шешуде қолдану логиканың зерттеу облысын кеңейтті.

XIX ғ. аяғында математика үшін актуальді мәнге ие болатын сұрақтар туындады, яғни оның негізгі  ұғымдары мен идеялары бойынша. Бұл мәселенің логикалық негізі болды және бұл математикалық логиканың әрі қарай дамуына алып келді. Бұл қатынаста неміс математигі Г.Фреге (1848-1925) және Итальян математигі Д. Пеано (1858-1932) еңбектерінде көрсетілген.

Математикалық ойлаудың ерекшеліктері математикалық абстракция және олардың байланыстарының түрлілігінің ерекшеліктерімен түсіндіріледі.

Осыған орай осы заманғы математикалық логиканы математиканың бөлімі ретінде қарастырады.

Математикалық логиканың дамуының негізгі себептерінің бірі әртүрлі математикалық теорияларды құруда аксиоматикалық әдістердің кең таралуы болып табылады.

Математикалық теорияны аксиоматикық құруда алдын-ала кейбір белгісіз жүйе ұғымы және олардың арасындағы қатынас тандалады. Осы ұғымдар мен қатынастар негізгі деп аталады. Әрі қарай дәлелдеусіз теория қарастыратын негізгі орын аксиома қолданылады. Барлық алдағы теорияның мазмұны аксиомадан логикалық түрде шығарады. Математикалық теорияда аксиоматикалық құруды алғашқы болып геометрияны құруды Эвклид қолданды .

Бұл теория алғашқыда әлсіз түсіндірілді. Эвклид мұнда негізгі ұғымдарға (нүкте, түзу, жазықтық) анықтама бергісі келді. Теорияны дәлелдеуде еш жерде жинақталмаған орын қолданылды.

Теорияны аксиоматикалық құру тәсілі XIX ғ. дейін жалғыз болды. Осы әдісті өзгертуде   Н. И. Лобачевский (1792-1856) еңбектерінің маңызы зор болды.

Лобачевский алғашқы болып Евклидтің 5 постулатының дәлелденбейтінін айтты және осы айтуын жаңа геометрияны құруда нақтылады. Кейін неміс математигі Ф.Клейн (1849-1925) Лобачевский геометриясын дәлелдеді. Осылайша математика тарихында олардың еңбектері алғашқы болып аксиоматикалық теорияның ділелденбейтін мәселесі көрсетілді.

Қарсылықты емес аксиоматикалық теория осы теорияның аксиома жүйесіне қойылатын негізгі талаптардың бірі болып табылады.

Қарсылықты емес математикалық теорияны дәлелдеудің әртүрлі тәсілі бар. Осының бірі интерпретация болып табылады. Мұнда негізгі ұғым мен қатынас ретінде кейбір жиынның элементтері және олардың арасындағы қатынас таңдалады, одан кейін тексеріледі.

Математикалық теория үшін интерпретацияның көпшілігі жиын теориясының қорында құрылады.

Бірақтан,  XIX ғ. аяғында жиын теориясында кемшіліктер пайда болды (жиын теориясының парадоксы). Осыған мысал ретінде  Б. Рассела парадоксы болып табылады.

Барлық ойланды жиынды екі класқа бөлеміз. Жиынды “дұрыс”, деп айтамыз егер ол өзінің элементі ретінде өзі болмаса және      “дұрыс емес” кері жағдайда . Мысалы, барлық кітаптар жиыны дұрыс жиын, ал ойдағы заттар жиыны дұрыс емес жиын . L –барлық дұрыс жиындар жиыны болсын. Онда  L қай жиын класына жатады?

Егер L – “дұрыс” жиын болса, онда L Î L, яғни  дұрыс жиын класында, бірақ ол өз элементі ретінде өзі кіреді, сондықтан ол “дұрыс емес”.

Егер L – “дұрыс емес” жиын болса, онда L Ï L, яғни дұрыс жиындар құрамында жоқ, бірақ  L өз элементі ретінде өзі кірмейді, сондықтан ол  “дұрыс”. Осылайша дұрыс жиын ұғымында қарама-қайшылық туындайды.

Теория жиынында қарама-қарсылықты жою ЦЕРМЕЛО-ны аксиоматикалық жиын теориясын құру қажеттілігіне алып келді. Кейінгі өзгерістерге байланысты бұл теория осы заманғы жиын теориясы құрылды.

Математиканы негіздеудің басқа тәсілдері  Д. ГИЛБЕРТ (1862-1943) және оның мектебінде дамытылды. Олар математикалық теорияны құруды синтаксистік теория  негізіне сүйене отырып құрды.

Осылайша, математикалық теорияның қарсылықты еместігін дәлелдеу басқа математикалық теория пәні болды, оны Гильберт математика немесе дәлелдеу теориясы деп атады.

Осы тұрғыда синтаксистік, яғни фромальданған аксиоматикалық теорияны математикалық логика негізін құру мәселесі туындайды. Әртүрлі тәсілмен аксиома жүйесі және басқа формуланы шығару шартын таңдауда әртүрлі синтаксистік логикалық теорияны аламыз. Олардың әрқайсысын логика есептелімі деп атаймыз.

Бұл курста біз классикалық тұжырымдар есептелімімен танысамыз.