Жоба тақырыбы: Маятник көмегімен қатты денелердің айналмалы қозғалысын зерттеу

Жұмыс мақсаты: Маятнигі көмегімен қатты денелердің айналмалы қозғалысын зерттеу барысында симметриялы қатты дененің инерция моментін анықтау

Міндеті: 1.Құрылғыны дайындайтын құрал, жабдықтарды іріктеп, дайындап алу
2. Маятниктің төмен түсуіне кеткен уақытын өлшеу арқылы инерция моментін анықтау.

Жаңашылдығы: Экспериментальды құрылғыны дайындау, инерция моментін есептеу формуласын қорытып шығара отырып, тәжірибе жүзінде қатты дененің инерция моментін анықтау.

Өзектілігі: Физикалық практикумға қажетті құрал. Оныншы сынып бағдарламасы бойынша «Механика» тарауын оқытуда, айналмалы қозғалысын зерттеу барысындағы физикалық практикумға пайдалану.

Мазмұны
Кіріспе 1. Негізгі теориялық бөлім 1.1. Динамика аксиомасы
1.2. Қатты дененің айналмалы қозғалыс үшiн динамиканың негiзгi теңдеуi
1.3. Инерция күштері туралы түсінік. Кинетостатика тәсілі.
1.4 Кейбір біртекті денелердің инерция моменті
2. Тәжірибелік бөлім
2.1 Құрылғының сипаттамасы және өлшеу тәсілдері
2.2. Экспериментальды құрылғыны дайындау, инерция моментін есептеу формуласын қорытып шығара отырып, тәжірибе жүзінде қатты дененің инерция моментін анықтау.
3. Қорытынды Пайдаланылған әдебиеттер тізімі.

Динамика аксиомасы

Динамикада күштер түсірілген материалдық нүктенің қозғалысы қарастырылғанда, түсірілген күш пен олардың қозғалысы арасында байланыс орнайды. Динамика заңдары аксиома тәжірибесіне негізделеді; олардың кейбіреулері статикада қарастырылады.
Егер нүктеге теңеспеген күштердің жүйесі әсер етсе, нүкте үдеуге ие болады. Нүктеге әсер етуші күш пен күштер туғызған үдеудің арасындағы байланыс, мынадай болып динамиканың негізгі аксиомасымен орындалады.

Материалдық нүктенің F күші түсірілгендегі үдеуі а, күштің бағытымен бағытталады және шамасы жағынан оған пропорционал болады. (а-сурет):
немесе скаляр түрде ma=F
Динамиканың негізгі теңдеуіне кіріп тұрған m коэффициентінің физикалық маңызы үлкен. Ол материялдық нүктенің массасы.

Егер теңдеуді үдеуге қатысты шешсе, онда:

a=F/m

яғни, неғұрлым масса үлкен болса, дене белгілі бір үдеуге ие болу үшін соғұрлым әсер етуші күш үлкен болуы керек. Осыдан, материалдық нүктенің массасы, оның «инерттілігінің» өлшеуіші болады.
ma=F теңдеуінен m=F/a анықтаймыз.

Егер осы теңдеуді G ауырлық күші әсер ететін материалдық нүкте үшін жазсақ:
m=G/g
мұндағы g — еркін түсу үдеуі
Масса үнемі скаляр шама және ауырлық күшіне пропорциональ, сонымен қатар оң таңбалы және қозғалыстың түріне байланысты емес.
Динамикадағы тәуелсіздік аксиома бойынша, материалдық нүктеге әсер етуші бірнеше күштердің геометриялық қосындысы барысында алған үдеуі , материалдық нүктеге әсер етуші бір ғана күштің беретін үдеуіне тең болады, сонымен

мұндағы -қарастырылып отырған материалдық нүктеге әсер етуші теңәсерлі күш.
Өлшем бірліктер жүйесімен және олардың байланысын қарастырайық. Халықаралық бірліктер жүйесінде (ХБЖ) ұзындықтың өлшем бірлігі — метр (м), уақыт бірлігі— секунд, масса бірлігі — килограмм (кг). Туынды шама күш бірлігі. Егер F = mа ның формуласында m = 1 кг мен қабылданса, а = 1 м/с2, онда 1 кг массалы денеге 1 м/с2 үдеу берілетін болса, онда күш 1 Ньютонға
(Н ) тең болады.

Бiр жүйенiң бiрлiктерiнен басқа жүйенiң бiрлiктерiнен өтуге кейде қажеттiлiк туады. Ауырлық күшi, ньютонмен берілген (Н) 1 кг массаға пропорционал, соған сәйкес:

ол сол уақытта бiрақ бiр килограмм-күштi құрайды.
Сонымен, килограмм-күш 9, 81 Н, өйткенi баламалы,
1 Н = 0,102 кг*күш немесе жуықтап алғанда 1 Н = 0,1 кг*күш.
Динамиканың аксиомаларының негiзiнде келесi екi негiзгi есеп шешуге болады.
Динамиканың төте есебi материалдық нүктенiң берілген қозғалысы бойынша әсер етуші күштердi анықталғандығында. Ең алдымен оны шешу үшiн, кинематиканың шарттары арқылы, нүктенiң үдеуiн анықтау қажет. Нүктенiң үдеуi анықталғаннан кейін, динамиканың негiзгi заңын пайдалана отырып әсер ететін күштi анықтау керек. Егер нүктеге бiрнеше күштер әсер етсе, және кейбiрi ғана олардың iшiнен белгiсiз болса, онда олардың анықтауы үшiн күштердiң әсерінiң тәуелсiздiгi аксиомасын пайдалануға тура келеді.
Динамиканың керi есебi берілген күштер бойынша нүктенiң қозғалысын анықталуына негізделген. Сонымен бiрге бұл жерде динамиканың негiзгi заңын қолдануға тура келедi. Бұл заңнан берілген массалы нүктеге әсер етуші күштер арқылы үдеу анықталады.

Қатты дененің айналмалы қозғалыс үшiн динамиканың негiзгi теңдеуi

Айналмалы қозғалатын денеге әсер ететін күштер мен оған берілген бұрыштық үдеудің арасындағы тәуелділікті анықтайық.

dm элементар бөлшегін қарастырамыз, оған инерция күшінің нормаль және жанама құраушыларын саламыз. Дененің барлық бөлшектеріне күштерді түсіріп, тепе-тең жүйе аламыз. Бұл жүйеге тепе-теңдік теңдеуін қолданамыз. Сыртқы күштердің айналу осіне қарасты айналмалы моментінің алгебралық қосындысын белгілейік

Инерция күшінің нормаль күштері айналу осін қиып өтеді де, олардың оған қарасты моменті болмайды. Инерцияның жанама күштері айналу осіне қарасты моменттер жасайды.
Әр нүктенің Ftин жанама инерция күшінің сәйкесінше иіні rі болады.

Бұл күштердің қосынды моменті бұрыштық үдеуінің бағытына және айналу моментіне қарама-қарсы, өйткені кез келген нүктенің инерция моментінің жанамасы оның жанама үдеуінің бағытына қарама-қарсы. Айналатын дененіңн нүктелерінің жанама инерция күшінің мәні мына формуламен анықталады:

у айналу осіне қатысты моменттердің теңдеуін құрамыз:

осыдан

Мәндерін қойып , аламыз

Барлық нүктелер үшін бірдей бұрыштық үдеудің мәнін жиын алдына шығарғаннан кейінгі алатынымыз:

Көбейткіш бізге белгілі шама, бұл у осіне қарасты инерция моменті:

Соңында алатынымыз:

Бұл динамиканың қатты дененің айналмалы қозғалысы үшін негізгі теңдеуі. Дененің инерция моментінің оның бұрыштық үдеуіне көбейтіндісі айналмалы оське қарасты моменттер қосындысына тең.
Мына теңдеуден
алатынымыз

Дененің инерция моменті неғұрлым үлкен болса, соғұрлым дененің белгілі бұрыштық үдеуіндегі айналмалы моменті де үлкен болуы керек. Сондықтан массаның инерция моментін қатты дененің айналмалы қозғалысының инертілігінің мөлшері ретінде қарастыруға болады, өйткені дененің ілгерлемелі қозғалысында масса инерттілік мөлшері.

Инерция күштері туралы түсінік. Кинетостатика тәсілі.

М материалдық нүктесіне бірнеше күштер жүйесіне әсер ететін болса.

Бұл күштер арасында байланыс реакциясының күштері белсенді болуы мүмкін.

Әсер етуші күштердің тәуелсіздік аксиомасы негізінде, барлық күштердің геометриялық қосындысына тең бір күш әсер еткендегідей, М нүктесі берілген күштер әсерінен үдеу алады.

Мұндағы а — М нүктенің үдеуі; m — М нүктенің массасы;
F — жүйенің теңәсерлі күші.

Теңдеудің сол жағында тұрған векторды оң жағына апарамыз. Содан кейін шамасы нольге тең векторлар қосындысын аламыз.

белгіленуін кіргізсек, онда алынған теңдеу мынадай болады:

Сонымен, , күштері өзара тең, бір түзудің бойында жатып бағыттары жағынан бір біріне қарама қарсы болғандықтан, тепе теңдік күйде болады. Бағыты жағынан үдеуіне қарама-қарсы, нүкте массасының оның үдеуінің көбейтіндісі тең шама күші деп аталады.
Соңғы теңдеуден, кез келген уақытта, материалдық нүктеге әсер етуші күштер инерция күштерімен теңесетінін көреміз. Келтірілген қорытынды Д’Аламбердің бастауы делінеді. Бұны материалды нүктеге ғана емес, сонымен қатар қатты денелер мен жүйелерге де қолданылады. Соңғы жағдайда бұл былай тұжұрымдалынады: Егер қозғалыстағы денелер мен жүйелерге әсер етуші күштердің барлығына инерция күшін түсірсе, сонда алынған жүйені тепе теңдік күйде болады деп қарастыруға болады.
Атап айтқанда, инерция күші қозғалатын денеге емес, үдемелі қозғалатын денелерге әсер етеді.
Д’Аламбер бастауы динамикалық есептерде, тепе-теңдік теңдеулерін шешуде қолданысын тапты. Динамиканың осындай есептерді шешу тәсілі кинетостатика тәсілі деп аталады.
Материалдық нүктенің әр түрлі қозғалысындағы инерция күшінің қалай анықталатынын қарастырайық.
1. m массалы М нүктесі түзусызықты үдемелі қозғалғанда, ( а, б суреті).

Түзусызықты қозғалыс кезінде үдеудің бағыты траекторияның бағытымен беттеседі.

Үдемелі қозғалыс кезінде (а-сурет), жылдамдық пен үдеудің бағыттары беттеседі және инерция күшінің бағыты қозғалыс бағытына қарама-қарсы. Кемімелі қозғалыс кезінде ( б-сурет), егер үдеу жылдамдық бағытына қарама-қарсы болса, инерция күші қозғалыс бағытына бағыттас әсер етеді.
2. М нүктесі қисықсызықты және бірқалыпсыз қозғалады. ( в-сурет)

Осы кезде, айтылып кеткендей нүктенің үдеуі нормаль аn және жанама at бойымен бағытталып құралады. Осыған сәйкес, инерция күші екі құрамдас бөлікетен, нормаль және жанамадан құралады.
Инерция күшінің нормаль құрамдас бөлігі нүкте массасының нормаль үдеуіне көбейтіндісіне тең, және осы үдеуге бағыты жағынан қарама-қарсы:

Инерция күшінің жанама құрамдас бөлігі нүкте массасының жанама үдеуіне көбейтіндісіне тең, және осы үдеуге бағыты жағынан қарама-қарсы:

М нүктесінің толық инерция күші, оның нормаль және жанама құрамдас бөліктерінің геометриялық қосындысына тең екені анық.

Нормаль және жанама құрамдас бөліктері өзара перпендикуляр болғандығын ескерсек, онда инерцияның толық күші:

Айналмалы қозғалыстың жұмысы мен қуаты

Қозғалмайтын осьті айнала қозғалу машиналар детальдардың қозалысында көптеп кездеседі. Айналмалы қозғалысты тудырушы себеп , F күшінің оське қатысты түсірілген айналу моменті болып табылады,

және ол мына фомуламен анықталады

Дененің аз бұрышқа d бұрылуы кезінде, нүкте С1 жағдайынан С2 жағдайына орын ауыстырғанда, жұмыс F күшінің арқасында атқарылады. Күш түсірілген нүктенің толық орын ауыстыруы радиусы R доғаның ұзындығына тең:

d = Rds

F күші үнемі s орын ауыстыруының жанамасы бойымен бағытталғандықтан, оның атқарылған жұмысы күш пен орын ауыстырудың көбейтіндісі арқылы анықталады:

Күштің оның радиусына көбейтіндісі айналу моменті болады, демек:

Осыны ескеріп, соңында dW = Мd екенін табамыз. Интегралдағанда алатынымыз:

Айналу моментінің жұмысы момент пен бұрылу бұрышының көбейтіндісіне тең.

Айналмалы қозғалыстағы қуатты анықтаймыз:

Дененің айналмалы қозғалыстағы қуаты айналу моментімен (момент парының) бұрыштық жылдамдықтың көбейтіндісіне тең.

Қуаттың өрнегіне (айн/мин) айналу жиілігі арқылы шығарылған бұрыштық жылдамдықтың мәнін қосақ,
Сонда алатынымыз

Осыдан

Двигательдің берілген қуаты бойынша,оның дамытатын максимальды айналу моментін. айналу жиілігін өзгерту арқылы реттеуге болады. Айналу жиілігін азайта отырып, айналу моментін ұлғайтуға болады, керісінше айналу жиілігін көбейте отырып, айналу моментін кішірейтеді.

Кейбір біртекті денелердің инерция моменті

Кез келген дененің инерция моменті

Инерция моментінің өлшем бірліктері:

[J] = [m] [r2] = кг*м2

Айналу осьтеріне қатысты кейбір қарапайым денелердің инерция моментінің формулаларын (қорытындысыз) келтірейік:

1. Біртекті стержень үшін, стерженнің осіне перпендикуляр, оның шетінен өтетін z осіне қатысты (1, а-сурет),

Мұндағы m — стержннің массасы; l — стержннің ұзындығы.
Z0 осіне қатысты біртекті стержень үшін, ( а-сурет),

оның ауырлық центрі арқылы өтетін

1-сурет

Айналу осі массалар центрі арқылы өтпегенде, инерция моментін анықтау үшін Гюйгенс-Штейнер формуласын пайдаланамыз. Ауырлық центрі арқылы өтпейтін кез келген оське қатысты дененің инерция моменті осы дененің ауырлық центрі арқылы өтетін осіне қатысты инерция моментін дене массасы мен осы остер арасындағы арақашықтықтың көбейтіндісіне қосқанға тең.
Дәлелдеу: Айналмалы қозғалыстың толық энергиясы үшін массалар центрі және ОО1 осі арқылы өтетін ості айнала қозғалыс кезінде гі энергияның қосындысынан шығады, яғни

Wайн = J0ω2/2 +mV2/2

мұндағы m- массалар центріндегі жіңішке шыбықтың массасы, J0- массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті.
Айналмалы екі қозғалыстың бұрыштық жылдамдықтары бірдей, демек,
Wайн = J0ω2/2 + m ω2a2/2 немесе Wайн = (J0 + m a2) ω2 /2
мұндағы а- ОО1 осінен массалар центріне (біздің жағдайымызда l /2 ) дейінгі қашықтық. Соңғы өрнектен массалар центрінен өтпейтін дененің оське қатысты инерция моменті
J0 = J0 + ma2

Осы теңдеу Гюйгенс-Штейнер теоремасын береді.
a= l /2 болғандықтан,
J0 = J0 + ml2/4 = ml2/12 + ml2/4= ml2/3

1. Радиусы R шеңбер бойымен айналатын материялдық нүктенің инерция моменті (2,а-сурет)
J0 = mR2

2. Жұқа сақинаның (құрсаудың) моменті (2,ә-сурет)

J0 = mR2

3. Тұтас дөңгелектің (цилиндр) инерция моменті (2, б-сурет)

J0 = mR2 /2

4. Тұтас шардың инерция моменті J0 =2/5 mR2 (2, в-сурет)

2-сурет

Құрылғының сипаттамасы және өлшеу тәсілдері

Маятник дегеніміз жіңішке стерженьге қозғалыссыз орнатылған диск. Стерженнің дискіден симметриялы екі ұшыннан жіптер байланып, штативке ілінеді. Маятниктің айналмалы қозғалысы кезінде, екі жағынан стерженьге жіптер оралып, тарқалып, дискіні жоғары-төмен айналмалы қозғалтады. Егер жіпті оське орап, дискіні белгілі биіктіктен көтеріп қоя берсе, ол ауырлық күшінің әсерінен айналмалы қозғалып, төмен түседі.
Төменгі нүктеде, жіптің толық ұзындығында, маятниктің төменге қарай ілгермелі қозғалысы тоқтайды. Айналып тұрған стерженнің инерциясы салдарынан жіптер оған оралып, маятниктің өз осінде айналуын біртіндеп баяулатып, жоғары көтереді. Тербелмелі қозғалыстың ең жоғарғы нүктесіне жеткенде цикл қайтадан жаңарады. Құрылғының схемасы 1-ші суретте көрсетілген.

1- ші сурет

1- Штатив, 2-горизонталь консоль, 3- электромагнит, 4-маятник, 5-датчик

Маятникке әсер ететін күштерді қарастырамыз. (2-ші сурет)

2 – сурет

Ондай күштер — жүйенің массалар центріне түсетін ауырлық күші mg, және стерженнің жіппен жанасқан жеріне түсетін жіптің екі керілу күші. Ньютонның екінші заңына сәйкес былай жазуымызға болады:
ma=mg — 2T (1)

мұндағы a маятниктің массалар центрінің үдеуі. Маятник ілгермелі қозғалып ғана қоймай, айналмалы да қозғалады. Екі жіптің керілу күшінің қосынды моменті ( d-стержень диаметрі) симметриялы осьтің бойымен айналу кезінде маятникке бұрыштық үдеу (−dε) береді
M=2*Td/2 (2)

Қатты дененің айналмалы қозғалысының динамикадағы негізгі заңы бойынша

M=εJ (3)

Мұндағы, J — маятниктің инерция моменті. Жүйедегі жіптер сырғанамайтындықтан, оның созылу коэффициенті өте аз (жіптерді созылмайды деп есептеуге болады). Мұндай шарттар орындалғанда сызықтық үдеудің бұрыштық үдеумен aε байланысы кинематикалық түрде былай жазылады
a=εd/2 (4)
(2) және (4) теңдеулерін қолдана отырып, мына түрде (3) қайта жазамыз: Td=J2a/d мен (5) бірге шеше отыра, мынадай өрнекті аламыз: a=g/1+4J/m (6)
J шамасы қозғалыс барысында өзгермегендіктен, маятник қозғалысының үдеуі тұрақты болады. Бастапқы жылдамдығы нольге тең, теңүдемелі қозғалыстың mdht уақытта жүрілген қашықтық:
h=at2/2 (7)
(6) мен (7) өрнектерден маятниктің инерция моментінің шамасын анықтауға болады:
J=md2/4*(gt2/2h — 1) (8)
Маятниктің төмен үдемелі қозғалысы жіптің толық ұзындығына дейін жалғасады. Траекторияның төменгі нүктесінде, сызықтық жылдамдық секірмелі қарама-қарсы бағытқа ауысады, өйткені жіптер стерженьге оралып, маятник жоғары үдеумен теңкемімелі қозғалады.
Құрылғы кронштейнге бекітілген вертикаль тұрғы ретінде жасалады. Тұрғыға горизонталь консоль бекітіліп, маятникті жоғарғы нүктеде ұстап тұратын электромагнит орнасастырылады. При нажатии кнопки «Қосу»түймешесін босқан кезде, маятник төмен қозғалысын бастайды. Төменгі нүктеде датчик орналасады. Төменгі нүктеде маятник жарықдиодының ағынын жабады. Бұл ағын фотодетекторге келіп түседі де, датчиктің сигналы өлшеуіш блокқа тіркеледі. Осылай, өлшеуіш блокқа, жарық ағыны жабылғандықтан, тоқтау импульсі жетеді. Маятникті төмен жіберген импульс пен оның тоқтауы арасындағы импульс компьютермен қадағаланып отырады.

Пайданылған әдебиеттер

1. Стрелков С.П. «Механика». – М.: Наука, 1975, § 58
2. Савельев И.В. «Курс общей физики». –1987, т.1. § 38 – 43.
3. Б.М.Яворский, Ю.А.Селезнев «Справочное руководство по физике»
М.: Наука, 1979 3 бөлім
4. «Элементарный учебник физики» под редакцией академика Г.С. Ландсберга, т.1. § 77,78